 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Систем счисления существет достаточно много (больше 10), но при работе с ЭВМ используются системы счисления с основанием q=2, q=8, q=10, q=16. Все эти системы являются арифметическими и позиционными. Значение любого числа определяется не только разрядностью (номером позиции), но также "весовым" значением и алфавитом системы счисления. Например, в десятичной системе счисления алфавит состоит из 10 символов (0, 1, 2, 3... 8, 9), в двоичной - (0,1), в восмеричной - (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), в шестнадцатиричной - (0, 1, 2, 3... 8, 9, A, B, C, D, E, F).
Чтобы явно указать в какой системе счисления записано число используется внизу маленкая цифра (2, 8, 10, 16) или буква латинского алфавита:
D (deсimal) - десятичный B (binary) - двоичный H (hexadcimal) - шестнадцатеричный O (octal) - восьмеричный
Содержание |
Не трудно догадаться, почему человечество использует десятичную систему счисления. Потому что на руках у нас всего десять пальцев. На ногах, правда, тоже, но они дальше и загибать их неудобно. Если бы наши предки были более ловкими, пришлось бы нам мириться с 20-тичной системой счисления. Например, племена Майя использовали именно 20-тичную систему счисления, за исключением второго разряда, в котором было 18 ступеней.
Рассмотрим какое-нибудь число, например 3857344. Каждая из цифр в данном числе несет двойную информацию: во-первых, свое собственное значение 3, 8, 5 и т. д., а во-вторых - место (позицию), которое занимает в записи числа (т.е. разряд). Такие системы счисления называются позиционными.
Разобьем наше число на разряды: 4 - в разряде единиц; 4 - в разряде десятков; 3 - в разряде сотен... , т.е. наше число может выглядеть и так:
3x1000000 + 8x100000 + 5x10000 + 7x1000 + 3x100 + 4x10 + 4x1
Занумеруем все разряды справа налево, причем разряд единиц будем считать нулевым; тогда разряд десятков будет первым, сотен - вторым, тысяч - третьим и т.д. Такая нумерация весьма естественна, поскольку единица - это 100, десятки - 101, сотни - 102, тысячи - 103 и т.д., т.е. расположение той или иной цифры в записи числа есть не что иное, как прямое указание, какой степенью 10 его можно заменить. А само значение цифры показывает, сколько раз надо взять 10 в заданной степени.
Таким образом, наше число можно записать в следующем виде:
385734410 = 3x106 + 8x105 + 5x104 + 7x103 + 3x102 + 4x101 + 4x100
Нижний индекс обозначает основание системы счисления.
Если число имеет дробную часть, то разложение добавляется суммой оснований 10 с отрицательными степенями. Например:
3,141510 = 3x100 + 1x10-1 + 4x10-2 + 1x10-3 + 5x10-4
Двоичная система, как и обычная десятичная, по своей структуре относится к позиционным системам счисления. Значение любого числа определяется его разрядностью и "весовым" значением и авфавитом системы счисления.
| Весовые значения разрядов и коды чисел | Примеры десятичных цифр | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 2-1 | 2-2 | 2-3 | |
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 | 0,125 | |
| 1 | 1 | 1 | 7 | ||||||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 13 | |||||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1, | 0 | 1 | 1 | 53,375 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 255 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 129 | |||
Пользуясь этой табицей, нетрудно найти десятичный эквивалент любого двоичного числа разрядностью не более 8.
1112 = 4 + 2 + 1 = 710
Наибольшее десятичное число, которое можно представить 8-разрядным двоичным числом, 256 (0, 1, 2 ... 254, 255).
Точно так же кодируются и дробные числа.
110101,0112 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53,37510
В современных компьютерах помимо двоичной системы счисления применяют и восьмеричную.
В восьмиричной системе счисления числа записываются с помощью восьми цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Восьмерка в этой системе счисления (аналогично двойке в двоичной) запсисывается цифрами "один" и "ноль":
108 = 810
Пример
5028 = 5x82 + 0x81 + 2x80 = 5x64 + 0 + 2 = 320 + 2 = 32210
Шестнадцатеричная система, как и восьмеричная, предназначена для более компактной записи двоичных кодов чисел и команд.
Для записи числе в этой системе необходимо шестнадцать различных символов, используемых как цифры. В качестве первых десяти шестнадцатеричных цифр используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр, которые соответствуют числам от 10 до 15, используются буквы латинского алфавита - A, B, C, D, E, F.
Примеры:
B16 = 1110
1F16 = 1610
FF16 = 256